ZZ:泰勒展开式的余项救人一命! – kerbcurb的专栏 – 博客频道 – CSDN.NET

泰勒展开式的余项救人一命! – kerbcurb的专栏 – 博客频道 – CSDN.NET.

CSDN的数学公式怎么不是正常的latex格式……懒得一个个改了

泰勒展式 (Taylor expansion) 的剩余项救人一命!
在俄国革命期间(1917年左右),数学物理学家塔姆 (Igor Tamm) 外出找食物,在靠近敖德萨 (Odessa) 的乡间被反共产主义的保安人员逮捕。保安人员怀疑他是反乌克兰的共产主义者,于是把他带回总部。
头目问:你是做什么的?塔姆:我是一位数学家。
头目心存怀疑,拿着枪,手指扣着扳机,对准他。手榴弹也在他的面前晃动。
头目说:好吧,那么一个函数作泰勒展开到第 n 项之后,你就把误差项算出来。如果你算对了,就放你一条生路,否则就立刻枪毙。
于是塔姆手指发抖,战战兢兢地慢慢计算,当他完成时,头目看过答案,挥手叫他赶快离开。
塔姆在1958年获得诺贝尔物理奖,但是他从未再遇到或认出这位非凡的头目。
笔者讲授微积分,每教到泰勒定理时,都要顺便说这个故事,让学生警惕一番。
泰勒展开定理就是要利用微分与积分工具,来剖析函数的结构。
假设函数 f 定义在开区间 (a,b) 上,并且 $c.in(a,b)$,当我们知道 f 的信息越多,对 f 的剖析就越精细。

这个信息包括两方面,一个是 f 的可微分的阶数逐渐提高,这是一种泛泛的条件;另一个是 f 在一点 c 的各阶微分系数的阶数也不断增加,这是在一点(局部)的信息之逐渐加深。
(i) 若 f 为一阶连续可微分,并已知 f(c) 之值,那么由微积分根本定理的 Newton-Leibniz 公式知

$$f(x)=f(c)+\int_c^x f'(t)dt {(1)}$$

亦即 f(x) 可以剖析为清楚的 f(c) 与尚未完全清楚的 $.int_c^x f'(t)dt$ 兩項之和。

(ii) 若 f 为二阶连续可微分,并且已知 f(c) 与 f'(c) 的值,那么由(1)式与分部积分公式得知

$$
f(x)&=&f(c)+\int_c^x.,f'(t)dt ..
&=&f(c)-\int_c^x.,f'(t)d(x-…
…[ ., (x-t)f'(t) .big{\vert}_c^x-.int_c^x.,f”(t)(x-t)dt ., .big]
$$

從而

.begin{displaymath}f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+.int_c^x f”(t)(x-t)dt.eqno{(2)}.end{displaymath}

亦即 f(x) 可以剖析為清楚的一次多項式 f(c)+f'(c)(x-c) 與尚未完全清楚的$.int_c^xf”(t)(x-t)dt$。

(iii) 若 f 為三階連續可微分,並且已知f(c), f'(c) 與 f”(c) 之值,那麼由(2)式與分部積分公式得知

.begin{eqnarray}
f(x)&=&f(c)+f'(c)(x-c)-.int_c^x.frac{f”(t)}{2!}d(x-t)^2 ..

…ig{.vert}_c^x
– .int_c^x.frac{f^{(3)}(t)}{2!}(x-t)^2dt ., .big]
.end{eqnarray
}

從而

.begin{displaymath}
.begin{eqalign}
f(x) &= f(c)+f'(c)(x-c)+.frac{f”(c)}{2!}(x-…
….int_c^x.frac{f^{(3)}(t)}{2!}(x-t)^2dt
.end{eqalign}.eqno{(3)}
.end{displaymath}

亦即 f(x) 可以剖析成清楚的二次多項式

.begin{displaymath}P_2(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+.frac{f”(c)}{2!}(x-c)^2.eqno{(4)}.end{displaymath}

與尚未完全清楚的剩餘項

.begin{displaymath}R_3(x)=.int_c^x.frac{f^{(3)}(t)}{2!}(x-t)^2dt.eqno{(5)}.end{displaymath}

利用積分的平均值定理,(5)式又可以寫成

.begin{displaymath}R_3(x)=.frac{f^{(3)}(.xi)}{3!}(x-c)^3.eqno{(6)}.end{displaymath}

我們稱 P2(x) 為二階泰勒多項式。
按上述要領,繼續做下去(數學歸納法),我們就得到如下美麗的泰勒展開定理。

泰勒展開定理(1715年):設函數 f 在區間 (a,b) 上具有 n+1 階連續地可微分,$c.in(a,b)$,則對任意 $x.in(a,b)$,f(x) 可以展開成

.begin{eqnarray}
f(x) & = & f(c)+f'(c)(x-c)+.frac{f”(c)}{2!}(x-c)^2+.cdots ..
& & {} + .frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n+R_{n+1}(x)
.end{eqnarray
}

其中的剩餘項(或誤差項)Rn+1(x) 可以表成微分形式或積分形式:

$$R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(.xi)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}$$

其中 ξ 介於 c 與 x 之間,或

$$R_{n+1}(x)=\int_c^x\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt $$

注:泰勒(B. Taylor, 1685~1731)是牛顿的学生,具有相当的音乐与艺术才华。他为了探求音律之谜,首开其端用微积分来研究弦振动问题(1713年),约一个世纪之后,富立叶(Fourier)分析出现才达于高潮(1807年)。泰勒也研究投影画法的几何学,其美术作品至今仍然被珍藏于伦敦的国家画廊(the National Gallery)之中。

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